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% 定义新的带灰色背景的说明环境 zremark
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]{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{10.1 习题}
\author{张志聪}
\maketitle

\section*{10.1.1}

（1）
$f$在$x_0$处可微分，由定义10.1.1可知，极限
\begin{align*}
  \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
\end{align*}
是存在的，不妨设极限是$L$。由定义9.3.6可知，
对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得
\begin{align*}
  |\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - L | \leq \epsilon
\end{align*}
对任意$x \in \big((x_0 - \delta, x_0 + \delta) \cap X \setminus \{x_0\}\big)$
均成立。

任意$y \in \big((x_0 - \delta, x_0 + \delta) \cap Y \setminus \{x_0\}\big)$，
因为$Y \subset X$，所以$y \in \big((x_0 - \delta, x_0 + \delta) \cap X \setminus \{x_0\}\big)$，
所以
\begin{align*}
  |\frac{f(y) - f(x_0)}{y - x_0} - L | \leq \epsilon
\end{align*}
由定义9.3.6可知，
\begin{align*}
  \lim\limits_{y \to x_0; y \in Y \setminus \{x_0\}} \frac{f|_Y(y) - f|_Y(x_0)}{y - x_0}
\end{align*}
的极限存在，所以$f|_Y$在$x_0$处可微。

（2）
与10.1.2不矛盾的原因：

点$3$不是$[1,2] \cup \{3\}$的极限点，不满足习题10.1.1习题的前置条件。

\section*{10.1.2}

\begin{itemize}
  \item $(a) \implies (b)$

        $f$在$X$中的$x_0$处是可微的，且导数为$L$，由定义10.1.1可知，极限
        \begin{align*}
          \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = L
        \end{align*}

        于是，由定义9.3.6可知，
        对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得
        \begin{align*}
          |\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - L | \leq \epsilon
        \end{align*}
        对$|x - x_0| \leq \delta, x \in X \setminus \{x_0\}$均成立。

        对上式进行算术运算，
        \begin{align*}
          |\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - L |       & \leq \epsilon           \\
          |\frac{f(x) - f(x_0) - L(x-x_0)}{x - x_0}| & \leq \epsilon           \\
          |f(x) - f(x_0) - L(x-x_0)|                 & \leq \epsilon |x - x_0| \\
          |f(x) - \big( f(x_0) + L(x-x_0) \big)|     & \leq \epsilon |x - x_0|
        \end{align*}
        对$|x - x_0| \leq \delta, x \in X \setminus \{x_0\}$均成立。
        当$x = x_0$时，公式也成立。

  \item $(b) \implies (a)$

        直接进行算术运算，略
\end{itemize}

\section*{10.1.3}

\begin{itemize}
  \item 方法1(利用极限定律，命题9.3.14)

        不妨设$x_0$处的导数为$L$，于是
        \begin{align*}
          \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = L
        \end{align*}
        即函数$f$在$x_0$处沿着$X \setminus \{x_0\}$收敛于$L$。

        我们易证
        \begin{align*}
          \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} x - x_0 = 0
        \end{align*}

        即函数$g$在$x_0$处沿着$X \setminus \{x_0\}$收敛于$0$。

        于是
        \begin{align*}
          fg & = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}  (x - x_0) \\
             & = f(x) - f(x_0)
        \end{align*}

        按照极限定律（命题9.3.14）可得
        \begin{align*}
           & \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} fg              \\
           & = \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} f(x) - f(x_0) \\
           & = L \times 0                                                       \\
           & = 0
        \end{align*}

        于是对任意$\epsilon > 0$，都存在$\delta > 0$使得$|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$对所有满足
        $|x - x_0| < \delta$的$x \in X \setminus \{x_0\}$均成立。特别地$x = x_0$时$f(x) - f(x_0) = 0 < \delta$也成立。

        所以由命题9.4.7(d)可知，$f$在$x_0$处连续。



  \item 方法2（利用命题10.1.7）

        $f$在$x_0$处可微，由命题10.1.7(b)可知，对任意的$\epsilon > 0$都存在$\delta > 0$，
        当$x \in X$且$|x - x_0| \leq \delta$时，那么就有
        \begin{align*}
          |f(x) - \big( f(x_0) + L(x-x_0) \big)| & \leq \epsilon |x - x_0|
        \end{align*}
        进过算术运算，
        \begin{align*}
          |f(x) - \big( f(x_0) + L(x-x_0) \big)| & \leq \epsilon |x - x_0|                \\
          |f(x) - f(x_0)|                        & \leq \epsilon |x - x_0| + |L||x - x_0| \\
          |f(x) - f(x_0)| \leq (\epsilon + |L|)|x - x_0|
        \end{align*}
        取$\delta = \frac{\epsilon}{\epsilon + |L|}$，此时$|x - x_0| \leq \frac{\epsilon}{\epsilon + |L|} = \delta$，
        使得
        \begin{align*}
          |f(x) - f(x_0)| \leq \epsilon
        \end{align*}
        由命题9.4.7(d)可知，$f$在$x_0$处连续。
\end{itemize}

\section*{10.1.4}

\begin{itemize}
  \item (a)

        对任意$\epsilon > 0$，对任意$\delta > 0$，都存在
        \begin{align*}
           & \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\
           & = \frac{c - c}{x - x_0}       \\
          %  & = \frac{0}{x - x_0}           \\
           & = 0
        \end{align*}
        对所有满足$|x - x_0| < \delta$的$x \in X \setminus \{x_0\}$均成立。
        于是由命题9.4.7(c)可得
        \begin{align*}
           & \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}}  \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = 0
        \end{align*}
        即$f^\prime(x_0) = 0$

  \item (b)

        对任意$\epsilon > 0$，对任意$\delta > 0$，都存在
        \begin{align*}
           & \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\
           & = \frac{x - x_0}{x - x_0}     \\
           & = 1
        \end{align*}
        对所有满足$|x - x_0| < \delta$的$x \in X \setminus \{x_0\}$均成立。
        于是由命题9.4.7(c)可得
        \begin{align*}
           & \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}}  \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = 1
        \end{align*}
        即$f^\prime(x_0) = 1$

  \item (c)

        设$f^\prime(x_0) = L, g^\prime(x_0) = M$

        $f$在$x_0$处可微，由定义10.1.1可知，极限
        \begin{align*}
          \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = L
        \end{align*}
        由定义9.3.6可知，
        对任意$\epsilon > 0, \frac{1}{2}\epsilon > 0$，存在$\delta_f > 0$，使得
        \begin{align*}
          |\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - L | \leq \frac{1}{2}\epsilon
        \end{align*}
        对所有满足$|x - x_0| < \delta_f$的$x \in X \setminus \{x_0\}$均成立。

        同理可得，
        存在$\delta_g > 0$，使得
        \begin{align*}
          |\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} - M | \leq \frac{1}{2}\epsilon
        \end{align*}
        对所有满足$|x - x_0| < \delta_g$的$x \in X \setminus \{x_0\}$均成立。

        令$\delta = min(\delta_f, \delta_g)$，于是，
        \begin{align*}
           & \big|\frac{(f(x) + g(x)) - (f(x_0) - g(x_0))}{x - x_0} - (L + M)  \big|                          \\
           & = \big|\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - L + \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} - M \big|               \\
           & \leq \big|\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - L \big| + \big|\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} - M \big| \\
           & = \frac{1}{2}\epsilon + \frac{1}{2}\epsilon                                                      \\
           & = \epsilon
        \end{align*}
        对所有满足$|x - x_0| < \delta$的$x \in X \setminus \{x_0\}$均成立。
        所以$(f + g)^\prime(x_0) = L + M$。

        于是$(f + g)^\prime(x_0) = f^\prime(x_0) + g^\prime(x_0) = L + M$。

  \item (d)

        设$f^\prime(x_0) = L, g^\prime(x_0) = M$

        $f$在$x_0$处可微，由定义10.1.1可知，极限
        \begin{align*}
          \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = L
        \end{align*}

        同理可得，
        \begin{align*}
          \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = M
        \end{align*}

        \begin{align*}
           & \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0} \\
           & = \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{f(x)\big(g(x) - g(x_0)\big)
          + \big(f(x) - f(x_0)\big)g(x_0)}{x - x_0}                                                     \\
           & = \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} f(x) \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}
          + g(x_0) \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}                                                        \\
        \end{align*}
        又$f$在$x_0$处可微，由命题10.1.0可知$f$在$x_0$处连续
        \begin{align*}
           & \lim\limits_{x \to x_0; x \in X} f(x) = f(x_0) \\
        \end{align*}
        于是通过命题9.4.7(c)可知（$x = x_0$是特例），
        \begin{align*}
           & \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} f(x) = f(x_0)
        \end{align*}
        于是利用极限定律（命题9.3.14）可得
        \begin{align*}
           & \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} f(x) \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}
          + g(x_0) \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}                                                   \\
           & = f(x_0)M + g(x_0)L
        \end{align*}
        所以$(fg)^\prime(x_0) = f^\prime(x_0)g(x_0) + f(x_0)g^\prime(x_0)$。

  \item (e)

        设函数$h : X \to \mathbb{R}$为$h(x) = c$，于是$(cf)(x) = h(x)f(x)$，函数相等一定有相同的导数（注10.1.4），
        于是利用(d)可得
        \begin{align*}
           & (cf)^\prime(x_0)                            \\
           & = (hf)^\prime(x_0)                          \\
           & = h^\prime(x_0)f(x_0) + h(x_0)f^\prime(x_0) \\
           & = 0 \times f(x_0) + c \times f^\prime(x_0)  \\
           & = cf^\prime(x_0)
        \end{align*}

  \item (f)

        设函数$h : X \to \mathbb{R}$为$h(x) = -g(x)$，于是$(f-g)(x) = (f+h)(x)$，函数相等一定有相同的导数（注10.1.4），
        于是利用(d)可得

        \begin{align*}
           & (f-g)^\prime(x_0)               \\
           & = (f+h)^\prime(x_0)             \\
           & = f^\prime(x_0) + h^\prime(x_0)
        \end{align*}

        由(e)可知，$h^\prime(x_0) = (-g)^\prime(x_0) = -g^\prime(x_0)$，这里把(e)中的$c$看做$-1$。

        综上可得
        \begin{align*}
           & (f-g)^\prime(x_0)               \\
           & = f^\prime(x_0) - g^\prime(x_0)
        \end{align*}


  \item (g)

        \begin{align*}
           & \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(x_0)}}{x - x_0}               \\
           & = \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{\frac{g(x_0) - g(x)}{g(x)g(x_0)}}{x - x_0}              \\
           & = \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{1}{g(x)g(x_0)} \frac{g(x_0) - g(x)}{x - x_0}            \\
           & = \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{1}{g(x)} \frac{1}{g(x_0)} \frac{g(x_0) - g(x)}{x - x_0} \\
        \end{align*}

        由于$g$在$x_0$处可微，所以
        \begin{align*}
           & \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\
           & = f^\prime(x_0)
        \end{align*}

        由于$g$在$x_0$处可微，由命题10.1.0可知$g$在$x_0$处连续，且$g(x)$在$X$上不为零，
        由命题9.3.14（函数的极限定理）可得
        \begin{align*}
          \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{g(x_0)}
        \end{align*}


        再次利用命题9.3.14（函数的极限定理）可得
        \begin{align*}
           & \lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{1}{g(x)} \frac{1}{g(x_0)} \frac{g(x_0) - g(x)}{x - x_0} \\
           & = \frac{1}{g(x_0)} \frac{1}{g(x_0)} \big( - g^\prime(x_0)\big)                                                   \\
           & = -\frac{g^\prime(x_0)}{g(x_0)^{2}}
        \end{align*}

  \item (h)

        因为$\big(\frac{f}{g}\big)(x) = \big(f\frac{1}{g}\big)(x)$，于是利用(d)(g)可知，
        \begin{align*}
          \big(\frac{f}{g}\big)^\prime(x_0) & = \big(f\frac{1}{g}\big)^\prime(x_0)                                                 \\
                                            & = f^\prime(x_0)\frac{1}{g(x_0)} + f(x_0)\big(\frac{1}{g}\big)^\prime(x_0)            \\
                                            & = f^\prime(x_0)\frac{1}{g(x_0)} + f(x_0) \big(-\frac{g^\prime(x_0)}{g(x_0)^{2}}\big) \\
                                            & = \frac{f^\prime(x_0)}{g(x_0)} - \frac{f(x_0) g^\prime(x_0)}{g(x_0)^{2}}             \\
                                            & = \frac{f^\prime(x_0) g(x_0) - f(x_0) g^\prime(x_0)}{g(x_0)^{2}}
        \end{align*}


\end{itemize}

\section*{10.1.5}

对$n$进行归纳。

归纳基始$n = 0$时，$f(x) = x^0 = 1$，由定理10.1.13(a)可知$f^\prime(x) = 0$，命题成立。

归纳假设$n = k$时，命题成立。

$n = k+1$时，$f(x) = x^{k + 1} = x^k x$，由定理10.1.13(d)和归纳假设可知
\begin{align*}
  (x^k x)^\prime
   & = (x^k)^\prime x + x^k x^\prime \\
   & = kx^{k-1} x + x^k 1            \\
   & = kx^k + x^k                    \\
   & = (k+1)x^k
\end{align*}

归纳完成，命题成立。

\section*{10.1.6}

因为$n$是负整数，令$n=-k$是正整数，于是$f(x) = x^n = \frac{1}{x^{k}}$，然后利用10.1.13(g)
和习题10.1.5可知，
\begin{align*}
  (\frac{1}{x^{k}})^\prime & = - \frac{kx^{k-1}}{(x^{k})^2} \\
                           & = - \frac{kx^{k-1}}{x^{2k}}    \\
                           & = - kx^{-k-1}                  \\
                           & = nx^{n-1}                     \\
\end{align*}

\section*{10.1.7}

设$g$在$y_0$处的导数为L，$f$在$x_0$处的导数为$M$。
\begin{itemize}
  \item 方法1，牛顿逼近法（命题10.1.7）
        由命题10.1.7（牛顿逼近法）可得，对任意的$\epsilon > 0$都存在一个$\delta > 0$使得，只有
        $y \in Y$是$\delta-$接近于$y_0$的，就有
        \begin{align}
          \big| g(y) - \big(g(y_0) + L(y - y_0) \big) \big| \leq \epsilon|y - y_0|
        \end{align}

        因为$f$在$x_0$处可微，由命题10.1.10可知$f$在$x_0$处连续，于是存在$\delta_f > 0$，
        使得
        \begin{align*}
          |f(x) - f(x_0)| \leq \delta
        \end{align*}
        对所有满足$|x - x_0| < \delta_f$的$x \in X$均成立。

        综上，当满足$|x - x_0| < \delta_f, x \in X$，并将$y = f(x), y_0 = f(x_0)$代入(1)式可得，
        \begin{align*}
          \big| g(f(x)) - \big(g(f(x_0)) + L(f(x) - f(x_0)) \big) \big| \leq \epsilon|f(x) - f(x_0)|                                       \\
          \big| \frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} - \frac{L(f(x) - f(x_0))}{x - x_0}  \big| \leq \epsilon|\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}| \\
          - \epsilon|\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}| \leq \frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} - \frac{L(f(x) - f(x_0))}{x - x_0} \leq \epsilon|\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}|
        \end{align*}

        因为
        \begin{align}
          \lim \limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} - \epsilon|\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}| = -\epsilon M \\
          \lim \limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \epsilon|\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}| = \epsilon M
        \end{align}

        由$\epsilon$的任意性与夹逼定理，且$\lim \limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{L(f(x) - f(x_0))}{x - x_0} = LM$可得，

        \begin{align*}
           & \lim \limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} - \frac{L(f(x) - f(x_0))}{x - x_0} = 0 \\
           & \implies                                                                                                                       \\
          % & \lim \limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} - LM = 0                               \\
          % & \implies                                                                                                                       \\
           & \lim \limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \{x_0\}} \frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} = LM                                   \\
        \end{align*}

  \item 方法2，命题9.3.9
\end{itemize}

\end{document}
